Þríhyrnuburkni hefur láréttan, skriðulan jarðstöngul þéttsettan brúnum hárum og hreistrum. Upp af jarðstönglinum vaxa þríhyrndar, ljósgrænar blöðkur á löngum stilk sem er oft tvöfalt til þrefalt lengri en blaðkan. Stilkurinn er gishærður, og með töluvert af oddmjóum, brúnum hreistrum, blaðkan er einnig gishærð en þétthærð á blaðstrengjum. Blaðkan er 5-15 sm löng, og nærri eins breið neðst, tvífjaðurskipt næst stilknum, smáblöðin lengst neðst en styttast jafnt að oddinum sem að lokum er flipóttur í endann og vel odddreginn. Neðsta blaðparið er aðeins úr takti við hin, vísar meira niður á við. Smáblöð annarrar gráðu eru oft greinilega tennt á neðstu blaðpörum, en aðeins lítið eitt bugtennt eða heilrend annars staðar. Gróblettir eru ljósbrúnir, í röðum neðan á blaðröndum smáblaðanna, kringlóttir og án gróhulu.

Þríhyrnuburkni má heita auðþekktur frá öllum öðrum íslenzkum burknum á hinni skarpþrístrendu lögun blöðkunnar. Eina tegundin sem svipar til hans er þrílaufungur. Hann hefur þó alveg þrískipta blöðku þar sem neðstu hliðarblaðpörin eru alveg sjálfstæð, aðskilin frá hinum og á alllöngum stilk.